Synopsis
I Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Formulation of the Balance Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Reduction to Field Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Change of Coordinates and a Trace Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Companion Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Weak and Shock Fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Survey of the Theory of BV Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 BV Solutions of Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Rapid Oscillations and the Stabilizing Effect of Companion
Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Introduction to Continuum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Balance Laws in Continuum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 The Balance Laws of Continuum Thermomechanics . . . . . . . . . . 31
2.4 Material Frame Indifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Thermoviscoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Incompressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III Hyperbolic Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 Hyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Entropy-Entropy Flux Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Examples of Hyperbolic Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . 56
3.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
IV The Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 The Cauchy Problem: Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Breakdown of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 The Cauchy Problem: Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Nonuniqueness of Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Entropy Admissibility Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6 The Vanishing Viscosity Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7 Initial-Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.8 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
V Entropy and the Stability of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1 Convex En
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