Mathieu Functions and Spheroidal Functions and Their Mathematical Foundations

Die MATHIEuschen Funktionen und die Sphäroidfunktionen treten 2 unter anderem bei der Separation der SchwingungsgleichungL1u+ku=o in elliptischen Zylinderkoordinaten bzw. in rotationselliptischen Koor- dinaten auf und stellen, von dieser Seite aus betrachtet, Verallgemei- nerungen der trigonometrischen Funktionen, Zylinderfunktionen, Kugel- funktionen und konfluenten hypergeometrischen Funktionen dar. Ist es schon vom mathematischen Standpunkt aus interessant, die MATHIEU- schen Funktionen und die Sphäroidfunktionen als Interpolation zwischen ihren wohlvertrauten Spezialfällen bzw. Ausartungen zu studieren, so darf man auf der anderen Seite erwarten, daß sie auch für die Behand- lung vieler physikalischer und technischer Probleme von ähnlichem Nutzen sein werden, wie es die einfacheren speziellen Funktionen der mathematischen Physik sind. Tatsächlich haben die MATHIEuschen Funktionen und die Sphäroidfunktionen gerade in den letzten Jahren viele wichtige und interessante Anwendungen gefunden, vor allem natür- lich bei Problemen, die auf die Schwingungsgleichung mit Rand- und Grenzbedingungen auf elliptischen Zylindern und auf Rotationsellip- soiden führen, darunter Probleme der Wärmeleitung, der akustischen oder elektromagnetischen Wellenausbreitung, insbesondere Abstrah- lungs-und Beugungsprobleme. Auch eine Reihe von wellenmechanischen Problemen konnte mit Hilfe dieser Funktionen gelöst werden. Von be- sonderer Bedeutung sind schließlich die zahlreichen Anwendungen speziell der MATHIEuschen Funktionen auf Systeme mit periodisch veränderlichen Parametern.