Numerical methods for multiphase mixture conservation laws with phase transition

Das Modell mit sieben Gleichungen für die Zweiphasenströmung ist ein System im Nichtgleichgewicht.Dabei hat jede Phase einen eigenen Druck-, Geschwindigkeits- und Temperaturwert. Ein einziger Wert für jede dieser Eigenschaften - der Gleichgewichtswert - kann durch Relaxationsverfahren erreicht werden. Für die numerische Approximation bei Vorhandensein nicht-konservativer Terme hat dieses Modell bessere Eigenschaften, als die der bekannten reduzierten Druckgleichgewichtsmodelle. In dieser Dissertation modifizieren wir das Modell, um den Wärme- und Stoffaustausch mit zu berücksichtigen. Diese werden durch Relaxationseffekte der Temperatur und der Gibbsschen freien Energie hinzugefügt. Dabei werden neue Relaxationsterme modelliert und neue numerische Verfahren für die unmittelbare Relaxation der Temperatur und der Gibbsschen freien Energie in Richtung Gleichgewichtszustand vorgeschlagen. Unsere Idee zur Modellierung solcher Relaxationsterme ist es, von der Annahme Gebrauch zu machen, dass die mechanischen Eigenschaften, der Druck und die Geschwindigkeit, deutlich schneller in den Gleichgewichtszustand gehen, als die Temperatur und die Gibbssche freie Energie, und dass der Quotient der Relaxationszeit der Gibbsschen freien Energie über der Relaxationszeit der Temperatur extrem hoch ist. Basierend auf dieser Annahme entwickeln wir ein hierarchisches Modell, in dem die Relaxationsschritte in dieser Reihenfolge durchgeführt werden: erst mechanische, dann Temperatur- und dann Gibbssche freie Energie-Relaxation. Was in einem Schritt relaxiert wird bleibt unverändert in den nächsten Schritten. Sämtliche Relaxationsprozesse sind als spontan vorausgesetzt, d.h. die Relaxationszeit ist nahe Null. Die Temperatur- und die Gibbssche freie Energie-Relaxation werden lediglich an den Phasengrenzflächen angesetzt.

Wir stellen eine numerische Validierung des neuen Modells anhand mehrerer Testfälle für metastabile Flüssigkeiten vor. Das Modell ist in der Lage Grenzflächen mit Phasenübergang zu behandeln, an denen Wärme- und Stoffaustausch vorkommen. Diese Fronten treten als zusätzliche Wellen im System auf. Unsere Ergebnisse stimmen gut mit vorher bekannten Ergebnissen überein. Darüber hinaus werden berechnete mit gemessenen Frontgeschwindigkeiten der Verdampfungswellen verglichen. Dabei wird auch eine gute Übereinstimmung erreicht.

Des Weiteren ziehen wir das Modell mit sechs Gleichungen, das aus dem Modell mit sieben Gleichungen im asymptotischen Limes der Geschwindigkeitsrelaxationszeit Null gewonnen wird, mit einer einzigen Geschwindigkeit in Betracht. Das oben beschriebene Verfahren für den Wärme- und Stoffaustausch wird auf das Modell mit sechs Gleichungen angesetzt. Ein numerischer Vergleich der Ergebnisse dieses Modells mit denen des Modells mit sieben Gleichungen wird durchgeführt.