Wavelets

Wavelets haben in den letzten zwölf Jahren eine stürmische Entwicklung in Forschung und Anwendungen genommen. Wie so oft war der Anfang ein ingenieursmäßiger Zu- gang zu einem Anwendungsproblem, das mit den vorhandenen Mitteln nicht zufrie- denstellend lösbar war. Im Falle der Wavelets war das Versagen klassischer Methoden zur Analyse geophysikalischer Daten Anlaß, "neue" Analyseverfahren zu entwickeln. Auch hier ist dann mit der Zeit deutlich geworden, daß die Wurzeln der Methode in mathematische Arbeiten hineinreichen. Dieses Zusammenspiel von Anwendungen und mathematischer Theorie hat erst den Erfolg gebracht. Ein Nachteil der Fourier-Transformation ist das Fehlen einer Lokalisierungseigenschaft: ändert sich ein Signal an einer Stelle, so ändert sich die Transformierte überall, ohne daß durch bloßes Hinschauen die Stelle der Änderung gefunden werden kann. Der Grund ist natürlich die Verwendung der immer periodisch schwingenden trigonome- trischen Funktionen. Verwendet man dagegen räumlich begrenzte Wavelets, "kleine Wellen" oder "Wellchen" sind Versuche einer Übersetzung ins Deutsche, so kann durch das Verschieben eine Lokalisierung und durch Stauchen eine Frequenzauflösung an der entsprechenden Stelle erreicht werden. Schon früh bei der Entwicklung der Ondelettes, wie die Wavelets in ihrem Ursprungs- land Frankreich genannt werden, sind sowohl die kontinuierliche als auch die diskrete Transformation untersucht worden. Die kontinuierliche Wavelet-Transformation kann als eine Phasenraumdarstellung in- terpretiert werden. Ihre Filter- und Approximationseigenschaften werden untersucht.

Basierend auf der kontinuierlichen Wavelet-Transformation und ihren Lokalisierungseigenschaften werden die diskrete Wavelet-Transformation und ihre effiziente Realisierung hergeleitet und Anwendungen diskutiert. Ein Lehrbuch für Mathematiker, Physiker, Informatiker und Ingenieure